cho \(a\ge-\dfrac{1}{2}\) và \(\dfrac{a}{b}>1\) giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = \(\dfrac{2a^3+1}{4ab\left(a-b\right)}\) là
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S= \(\dfrac{5x^4+4x^2+10}{x^4+2}\)
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: T=\(\dfrac{2x^4-4x^2+8}{x^4+4}\)
c) Cho a là hằng số và a>0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M=\(\dfrac{8y^8+2a\left(y-3\right)^2+2a^2}{4y^8+a^2}\)
Cho các số thực không âm a,b. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P=\dfrac{\left(a^2+2b+3\right).\left(b^2+2a+3\right)}{\left(2a+1\right).\left(2b+1\right)}\)
\(P\ge\dfrac{\left(2a+1+2b+1\right)\left(2a+1+2b+1\right)}{\left(2a+1\right)\left(2b+1\right)}\ge\dfrac{4\left(2a+1\right)\left(2b+1\right)}{\left(2a+1\right)\left(2b+1\right)}=4\)
Vậy \(P_{max}=4\), với a=b=1
Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
a)\(A=\left|\dfrac{3}{5}-x\right|+\dfrac{1}{9}\)
b)B=\(\dfrac{2009}{2008}-\left|x-\dfrac{3}{5}\right|\)
c)C=\(-2\left|\dfrac{1}{3}x+4\right|+1\dfrac{2}{3}\)
Ai lm đc câu nào thì giúp mk với , cảm ơn !!
\(A=\left|\dfrac{3}{5}-x\right|+\dfrac{1}{9}\ge\dfrac{1}{9}\\ A_{min}=\dfrac{1}{9}\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{5}\\ B=\dfrac{2009}{2008}-\left|x-\dfrac{3}{5}\right|\le\dfrac{2009}{2008}\\ B_{max}=\dfrac{2009}{2008}\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{5}\\ C=-2\left|\dfrac{1}{3}x+4\right|+1\dfrac{2}{3}\le1\dfrac{2}{3}\\ C_{max}=1\dfrac{2}{3}\Leftrightarrow\dfrac{1}{3}x=-4\Leftrightarrow x=-12\)
a: \(A=\left|\dfrac{3}{5}-x\right|+\dfrac{1}{9}\ge\dfrac{1}{9}\forall x\)
Dấu '=' xảy ra khi \(x=\dfrac{3}{5}\)
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(P=\dfrac{1}{a\left(b^2+bc+c^2\right)}+\dfrac{1}{b\left(c^2+ca+a^2\right)}+\dfrac{1}{c\left(a^2+ab+b^2\right)}+\dfrac{abc}{ab+bc+ca}\)
\(abc\ge\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\)
\(\Leftrightarrow abc\ge\left(3-2a\right)\left(3-2b\right)\left(3-2c\right)\)
\(\Leftrightarrow9abc\ge12\left(ab+bc+ca\right)-27\)
\(\Rightarrow abc\ge\dfrac{4}{3}\left(ab+bc+ca\right)-3\)
\(P\ge\dfrac{9}{a\left(b^2+bc+c^2\right)+b\left(c^2+ca+a^2\right)+c\left(a^2+ab+b^2\right)}+\dfrac{abc}{ab+bc+ca}=\dfrac{9}{\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b+c\right)}+\dfrac{abc}{ab+bc+ca}\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{3}{ab+bc+ca}+\dfrac{abc}{ab+bc+ca}=\dfrac{3+abc}{ab+bc+ca}\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{3+\dfrac{4}{3}\left(ab+bc+ca\right)-3}{ab+bc+ca}=\dfrac{4}{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
1. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh:
\(\dfrac{1}{\left(a+b-c\right)^2}+\dfrac{1}{\left(b+c-a\right)^2}+\dfrac{1}{\left(c+a-b\right)^2}\)\(\ge\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\)
2. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(P=\dfrac{a}{2b+2c-a}+\dfrac{b}{2c+2a-b}+\dfrac{c}{2a+2b-c}\)
Vì vai trò của a,b,c là như nhau, giả sử
\(a\ge c\ge b>0\)
Ta có
\(a+b-c< a\)
\(\Leftrightarrow b-c\le0\) ( đúng với gt )
\(\Rightarrow a+b-c< a\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b-c\right)^2< a^2\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{\left(a+b-c\right)^2}\ge\dfrac{1}{a^2}\)
CMTT :
\(\dfrac{1}{\left(b+c-a\right)^2}\ge\dfrac{1}{b^2};\dfrac{1}{\left(c+a-b\right)^2}\ge\dfrac{1}{c^2}\)
Cộng vế với vế 3 BĐT trên , được
\(\dfrac{1}{\left(a+b-c\right)^2}+\dfrac{1}{\left(b+c-a\right)^2}+\dfrac{1}{\left(c+a-b\right)^2}\ge\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\)
Cho hai biểu thức $A = \dfrac1{\sqrt x - 1}$ và $B = \left(\dfrac{-3\sqrt x}{x\sqrt x - 1} - \dfrac1{1 - \sqrt x}\right):\left(1 - \dfrac{x + 2}{1 + \sqrt x + x}\right)$ với $x \ge 0$ và $x \ne 1$.
a. Tính giá trị của $A$ khi $x = 4 - 2\sqrt3$.
b. Chứng minh giá trị của $B$ không phụ thuộc vào $x$.
c. Tìm tất cả các giá trị của $x$ để $\dfrac{2A}B$ nhận giá trị nguyên.
a,Ta có \(x=4-2\sqrt{3}=\sqrt{3}^2-2\sqrt{3}+1=\left(\sqrt{3}-1\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{x}=\sqrt{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}=\left|\sqrt{3}-1\right|=\sqrt{3}-1\)do \(\sqrt{3}-1>0\)
\(\Rightarrow A=\frac{1}{\sqrt{3}-1-1}=\frac{1}{\sqrt{3}-2}\)
b, Với \(x\ge0;x\ne1\)
\(B=\left(\frac{-3\sqrt{x}}{x\sqrt{x}-1}-\frac{1}{1-\sqrt{x}}\right):\left(1-\frac{x+2}{1+\sqrt{x}+x}\right)\)
\(=\left(\frac{-3\sqrt{x}+x+\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}\right):\left(\frac{x+\sqrt{x}+1-x-2}{x+\sqrt{x}+1}\right)\)
\(=\left(\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}\right):\left(\frac{\sqrt{x}-1}{x+\sqrt{x}+1}\right)\)
\(=\frac{\sqrt{x}-1}{x+\sqrt{x}+1}.\frac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=1\)
Vậy biểu thức ko phụ thuộc biến x
c, Ta có : \(\frac{2A}{B}\)hay \(\frac{2}{\sqrt{x}-1}\)để biểu thức nhận giá trị nguyên
thì \(\sqrt{x}-1\inƯ\left(2\right)=\left\{\pm1;\pm2\right\}\)
\(\sqrt{x}-1\) | 1 | -1 | 2 | -2 |
\(\sqrt{x}\) | 2 | 0 | 3 | -1 |
x | 4 | 0 | 9 | vô lí |
a. Ta có .
b. Với và ta có:
Cho 3 số dương a, b, c thay đổi thỏa mãn: \(a^2+b^2+c^2=3\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P=2.\left(a+b+c\right)+\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)
\(P=2\Sigma a+\Sigma\dfrac{1}{a}=\Sigma a+\Sigma a+\Sigma\dfrac{1}{a}\ge3.\sqrt[3]{\left(\Sigma a\right)^2.\Sigma\dfrac{1}{a}}\)
\(Q=\left(\Sigma a\right)^2.\Sigma\dfrac{1}{a}=\left(3+2\Sigma ab\right).\Sigma\dfrac{1}{a}=3\Sigma\dfrac{1}{a}+4\Sigma a+2\Sigma\dfrac{ab}{c}\ge3\Sigma\dfrac{1}{a}+6\Sigma a=3\left(\Sigma\dfrac{1}{a}+2\Sigma a\right)=3P\)\(\Rightarrow\)\(P\ge3\sqrt[3]{3P}\) \(\Leftrightarrow P^3\ge81P\Leftrightarrow P^2\ge81\left(P>0\right)\Leftrightarrow P\ge9\)
" = " \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Vì $\large a,b,c \in\mathbb{N^*}$ và $\large a^2+b^2+c^2=3\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a<\sqrt{3} & \\ b<\sqrt{3} & \\ c<\sqrt{3} & \end{matrix}\right.$
Ta chứng minh bất đẳng thức phụ sau:
Với $0 <x<\sqrt{3}$ thì $2x+\frac{1}{x} \ge x^2.\frac{1}{2}+\frac{5}{2}(*)$
Thật vậy $(*)$ $\large \Leftrightarrow (x-2)(x-1)^2 \le0$
Do $\large x<\sqrt{3}\Leftrightarrow x<2\Leftrightarrow (x-2)(x-1)^2<0$ (Luôn đúng)
Do đó bất đẳng thức được chứng minh
Dấu $"="$ xảy ra khi $x=1$
Trở lại bài toán:
Áp dụng BĐT $(*)$ ta được:
$\large 2a+\frac{1}{a}+2b+\frac{1}{b}+2c+\frac{1}{c}\ge\frac{1}{2}(a^2+b^2+c^2)+\frac{15}{2}=9$
Do $a^2+b^2+c^2=3$
Vậy $GTNN=9$
Dấu $"="$ xảy ra khi: $a=b=c=1$
Cho 3 số dương a, b, c thay đổi thỏa mãn: \(a^2+b^2+c^2=3\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P=2.\left(a+b+c\right)+\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)
cho a,b,c là các số dương thỏa a+b+c=1.tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=\(\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\left(1+36abc\right)\)
Ta có:
\(P=\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\left(a+b+c+36abc\right)\)
\(P=\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}+3+36\left(ab+bc+ca\right)\)
\(P=\dfrac{a^2+b^2}{ab}+\dfrac{b^2+c^2}{bc}+\dfrac{c^2+a^2}{ca}+3+36\left(ab+bc+ca\right)\)
\(P=\dfrac{\left(a+b\right)^2}{ab}+\dfrac{\left(b+c\right)^2}{bc}+\dfrac{\left(c+a\right)^2}{ca}-3+36\left(ab+bc+ca\right)\)
\(P\ge\dfrac{4\left(a+b+c\right)^2}{ab+bc+ca}-3+36\left(ab+bc+ca\right)\)
\(P\ge\dfrac{4}{ab+bc+ca}+36\left(ab+bc+ca\right)-3\ge2\sqrt{\dfrac{4.36\left(ab+bc+ca\right)}{ab+bc+ca}}-3=21\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
Lời giải:
Nếu bạn học dồn biến- thừa trừ rồi thì có thể làm như sau:
$P=\frac{ab+bc+ac}{abc}(1+36abc)=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+36(ab+bc+ac)=f(a,b,c)$
Giả sử $c=\max(a,b,c)$. Ta sẽ chứng minh $f(a,b,c)\geq f(\frac{a+b}{2}, \frac{a+b}{2}, c)$
Thật vậy:
\(f(a,b,c)- f(\frac{a+b}{2}, \frac{a+b}{2}, c)=\frac{(a+b)^2-4ab}{ab(a+b)}+36.\frac{4ab-(a+b)^2}{4}\)
\(=\frac{(a-b)^2}{ab(a+b)}-9(a-b)^2=(a-b)^2(\frac{1}{ab(a+b)}-9)\)
Vì $c=\max (a,b,c)$ mà $a+b+c=1\Rightarrow a+b\leq \frac{2}{3}$
$\Rightarrow ab\leq \frac{1}{4}(a+b)^2\leq \frac{1}{9}$
$\Rightarrow \frac{1}{ab(a+b)}\geq \frac{27}{2}$
$\Rightarrow \frac{1}{ab(a+b)}-9>0$
Do đó: $f(a,b,c)\geq f(\frac{a+b}{2}, \frac{a+b}{2}, c)$
Mà:
$f(\frac{a+b}{2}, \frac{a+b}{2}, c)-21=\frac{4}{a+b}+\frac{1}{c}+36[\frac{(a+b)^2}{4}+c(a+b)]-21$
$=\frac{4}{1-c}+\frac{1}{c}+9(1-c)^2+36c(1-c)-21$
$=\frac{3c+1}{c(1-c)}+9(1-c)^2+36c(1-c)-21$
$=(3c-1)^2.\frac{3c^2-3c+1}{c(1-c)}\geq 0$ với mọi $1>c\geq \frac{1}{3}$
Do đó $f(\frac{a+b}{2}, \frac{a+b}{2}, c)\geq 21$
$\Rightarrow f(a,b,c)\geq 21$
Hay $P_{\min}=21$